구체 수학 - #2.5 일반적인 방법들

이번 절은 일반적인 방법들에 대한 내용이다.

이번장의 내용들을 정리하는 절인 걸로 보인다. 왠지 핵심일 듯?

 

n제곱에 대한 합을 구하는 방법은 서로 다르게 8개 이상 존재한다.

 

방법 0 : 답을 찾아본다. 책/인터넷 등에 있는지.

- 처음 n개의 제곱수들의 합을 구하는 것은 같은 문제를 누군가 이미 풀었을 것이다.

- 이미 그런 것들만 모아놓은 좋은 책이 있다. Handbook of Integer Sequences.

- 그러나 이 책의 저자들은 독자 스스로 답을 찾아내는 방법을 갖추길 원한다. 그리고 새로운 문제는 참고문헌에 없다.

 

방법 1 : 답을 추측하고 귀납법으로 증명한다.

- 어떤 덜 엄밀한 수단을 통해서 닫힌 형식을 발견할 수도 있다.

- 어떤 경로든 답을 떠올렸으면, 증명만 하면 된다.

- 귀납법은 중요한 방법으로 그냥 답을 찾는 것보다는 이 책의 목적에 좀 더 잘 맞는다.

- 그러나 추측 및 귀납법 없이 전적으로 우리 힘으로(번뜩이는 영감 같은 거 없이) 찾아야 한다.

 

방법 2 : 합을 어지럽힌다(섭동)

- 첫 항과 마지막 항을 추출해서 공식을 만들고 유도해본다.

- 만약 제곱이 안되면 세제곱을 사용해보는 것도 좋다.

 

방법 3 : 레퍼토리를 구축한다

- 점화식을 일반화하면 피가수들의 합을 표현하는 공식을 구할 수 있다.

 

방법 4 : 합을 적분으로 대체한다

- 시그마 대신 적분을 활용

 

방법 5 : 늘리고 줄인다

- 닫힌 형식을 구하는 또 다른 방법은, 원래의 합을 그보다 더 복잡해 보이는, 그러나 적절히 주무르면 더 단순화할 수 있는 어떤 이중합으로 대체하는 것

 

방법 6 : 유한 미적분을 사용한다.

 

방법 7 : 생성 함수를 사용한다.

 

이후에도 또 다른 기법들을 소개할 것으로 보인다.

 

내가 제대로 이해한 건 방법 0,1,2 정도인 거 같다. ㅎㅎㅎ